古典梁理論和先進原子力顯微鏡應用

緣起：

七年前，筆者為了回應期刊論文審查教授的審查意見，偶然地進入原子力顯微鏡的探針振動議題。因而發現很多過去的力學知識，在原子力顯微鏡的機台和原理中被實踐。比方：機台隔振技術（土木的主動控制），探針振動模擬（梁振動理論），試體表面輪廓描繪（工址測量）。除了應証知識在各領域其實相通外，深入接觸原子力顯微鏡後，也讓筆者學習有別於工程師的科學家思維。

前言：

結構力學的理論在土木實務的發展已經十分成熟，然而在奈米的世界中，仍有很多有趣的力學應用，迄今仍被探討著。從公尺（m），釐米（mm），微米（μm）到數十奈米（nm）的世界，雖然結構尺寸一直縮小，但基本結構力學的分析技術，仍然適用。在以公尺為主要單位的土木世界中，人類建造最高的杜拜塔，最長的明石大橋，土木工程師努力克服的是重力，風力和地震力。然而，微奈米的世界中，人類製造探針使其針尖端只有數奈米，人類量產微米級的感測器（如手機中的速度感測器，陀螺儀等）。結構物自重不再是設計中的第一考量， 考量的因素變成固體間的超距力（如凡得瓦力），固體與液體間的吸附力，和各種的化學鍵結。簡單地說，在大小不同尺度的問題間，所不同的僅是結構物受到的外力形式。 雖有一派的人認為分子動力學才是分析微小世界的利器，但迄今古典力學分析技術，如梁振動理論，模態分析，有限元素法等，仍廣泛為微奈米尺寸的研究人員使用。筆者透過介紹原子力顯微鏡的原理，希望帶給讀者不同的視窗，也希望讀者洞悉奈米世界背後，仍是我們熟悉的力學。

歷史簡介：

原子力顯微鏡（Atomic force microscope，簡稱AFM）是一種奈米級高分辨率的掃描探針顯微鏡。它克服了光學顯微鏡具有光波長的觀測極限，帶領人們進入奈米尺度的世界。而原子力顯微鏡的前身是掃描穿隧式顯微鏡，1980年代早期由IBM蘇黎士研究實驗室Heinrich Rohrer和Gerd Binnig，並獲得1986年的諾貝爾物理學獎。該年的諾貝爾物理獎項共有三人分享獲獎，一半的獎由Ernst Ruska教授以發明電子顯微鏡（SEM）獲得，另一半由Gerd Binnig和Heinrich Rohrer以發明掃描穿隧式顯微鏡（STM）獲獎平分殊榮。在諾貝爾的頒獎典禮上，主持人介紹掃描穿隧式顯微鏡有二項重要的突破技術，此二項進步帶給世界不同的視野。其一是定位技術的發明，使很細的探針可以穩定地停留在特定高程。第二項貢獻是一種製造特別細尖針的方法，細緻的針如同人類的手指，可以透過觸摸的方式感測試體的外部輪廓。有了掃描穿隧式顯微鏡的儀器原理和機構系統概念，繼之而起的發明至少有廿八種相關儀器，我們通稱為掃描式探針顯微鏡（SPM）家族。其中，為大家熟知的即為原子力顯微鏡。

圖1. (a) 人類首部原子力顯微鏡由IBM公司設計，其中探針的機構仍以掃描穿隧式為主體，另外架構一支懸臂梁結構用以探測原子力的作用。（感謝John Dalton在維基百科提供轉載此照片） (b) 第一台商業化原子力顯微鏡，放置於隔振桌上有特殊的箱體保護以隔絕熱造成的振動，導致觀測影像失真。（感謝Zureks在維基百科提供轉載此照片） (c) 常見的一般商業用的原子力顯微鏡探針，探針的懸臂梁寬度約三十餘微米，長度為數百奈米，探針針尖的最尖端的曲率半徑約為數個奈米。（感謝Materialscientist在維基百科提供轉載此照片）

原子力顯微鏡觀測原理簡介：

原子力顯微鏡主要是一種觀測力學的變化方法，透過降低探針的高程，並觀測微懸臂梁的彎曲變形（或共振頻率變化），得知探針已碰觸試體（或在原子力影響高程內），再由探針下針的推進高程，相對換算試體單點的高程。當得知單點的高程後，再將試體以陣列網格的掃描方式逐點下針，描繪試體網格點的高程，進而掃描出試體表面的輪廓。原子力顯微鏡的觀測技術分成靜力和動力方式：

(1) 接觸模式（靜力方式）：

接觸模式是最早期的原子力顯微鏡版本，在真空中操作解析度相對較非接觸式低。目前仍然廣泛運用水中操作，用來觀察生物體，常見的掃描照片如DNA的螺旋結構。接觸模式必須緩慢下針使微懸臂梁保持穩定。當探針碰觸到試體前，因受到凡得瓦力影響，使得微懸臂梁隨下降高程而下彎。此時，雷射反射射自微懸臂，投射在端光感測器，即感測到梁的撓曲變化，電腦記錄該點位的偏移量，再利用下針的衝程換算試體的高程（詳圖2）。

(2) 非接觸式（動力方式）：

非接觸模式是改良接觸式版本的觀測方式。隨著觀測技術的提升，非接觸式又分成敲觸式和完全非接觸式。為了避免接觸式的探針，因為接觸導致壓迫或破壞試體表面（特別是生物試體），所以發展一種藉著微懸臂梁的擺動，使探針輕敲試體表面，此掃描方式即為敲觸模式。其藉由壓電材料穩定地簡諧震盪驅動微懸臂梁，使微懸臂梁產生穩定簡諧波動，而探針端因為波的擾動而有垂直方向振動。藉由雷射觀測探針週期運動是否遭到破壞，以決定探針是否接近試體。若以雷射觀測振幅變化者稱為振幅模式，雷射觀測振動頻率變化者稱為頻率模式。完全非接觸式是最先進的觀測技術，探針控制在試體上方，以週期性的雷射光熱驅動微懸臂梁，使其以極微小的振幅振動（約1 nm）。當探針掃描試體時，頻率約有數赫茲的變化，因而利用頻率可換算試體高程。在低溫真空環境中，它可觀測數十皮米左右的高程變化。最新的技術，非接觸式原子力顯微鏡在液體中，可以觀測到生物薄膜附近次奈米等級的水和層（hydration layer）。

圖2  原子力顯微鏡的基本架構圖，主體結構為一個微懸臂梁，懸臂梁的自由端設有一探針。探針尖端的曲率半徑約數個奈米，它與試體間存在凡得瓦力。以低功率雷射照射在探針背面，其反射訊號投影在光感測器，藉由光感測器上光點的位置探知微懸臂梁的振動情況。

什麼是原子力？

綜觀而言，有三種力量影響著分子與分子之間的作用(a)強度(b)彼此間距離(c)存在環境。而強度和距離可以摘要的以下表1的「鍵」來說明。

而原子力顯微鏡乃基於探針尖端和試體間的凡得瓦力應用。針對凡得瓦力而言，其主要是存在原子或分子之間，可以再分成下列三個群組：(a) 偶極-偶極力：分子有天然的偶極，而它們之間會交互作用，形成偶極-偶極力。(b) 偶極誘導偶極：上述偶極力去引導一組非極化的原子或分子，去形成偶極，因而形成引力。(c) 離散力：基於原子站太的位移擾動，使得正負電荷之間形成偶極。此偶極的形成瞬間再次誘導其他原子形成偶極，而此種極化原子或分子之間，因為相互吸引力形成的力量稱為離散力。簡單地說，凡得瓦力在理論和實驗的驗證下，確定是與距離的負七次方成正比。凡得瓦力在兩個原子極接近，可以說是在接觸之後，便有了排斥力，此力量隨著原子中心距離的縮小而急劇的上升。

圖3  凡得瓦力的勢能對應於探針和試體距離的關係曲線圖，其中σ的位置為勢能為零的點。勢能的微分即是所謂的原子力，而r(ε)的位置是勢能最低的點， 換言之此點為力等於零的點，一般認定是探針與試體的接觸點。

微懸臂梁的力學振動（古典梁振動理論）：

除了凡得瓦力之外，原子力顯微鏡的微懸臂梁的基本探測技術，是基於常見的尤拉-白努力梁（Euler-Bernoulli beam）理論模型，即為材料力學中所介紹的梁模型。基於梁變形假設，只考慮彎矩造成的影響忽略剪力的效應。科學家利用微懸臂梁的自由端受到凡德瓦力的吸引造成懸臂梁彎曲，因為彎曲程度的不同，可換算梁受到的凡德瓦力。或已知凡得瓦力的關係式，透過力的量測可換算高程。藉此可探測試體的力學特徵或幾何輪廓。微懸臂梁的振動可透過自由體圖分析（詳圖4），獲得控制方程式

上述方程式中，時間和空間二者代表不同的角色。工程數學中所學的分離變數法便是解方程式的技術。邊界條件是重要的先決因素，一旦邊界條件決定後，梁的自然振動頻率便決定。以微懸臂梁為例，梁的左端是固定端， 而另一端為自由端。當微懸臂梁十分遠離試體時，可以將梁視成簡單的微懸臂梁。但當探針接近試體時，因為凡得瓦力作用於探針上，形成新的外力邊界條件。而當探針接觸到試體，自由端再次改成鉸支承型式。因此，過程中微懸臂梁的模態函數（詳圖5）和自然振動頻率（正比特徵值），將隨探針和試體的高程不同而改變（詳圖6）。

圖4  微懸臂梁在隨時間變化的外力擾動下 (a) 梁受力分佈示意圖及(b) 任意一個區域的力平衡自由體圖。其中，是隨意時間變化的外力，懸臂梁的材料楊氏模數為，慣性矩為，梁的單位長度密度為。

圖5  微懸臂梁的模態函數隨著探針和試體間距 （Z-w0） 的不同而改變。圖中a, b, c, d , e對應圖6中的第一模態特徵值點位。（圖片引用自P.-J. Shih, Sensors, 12, 6666-6684, 2012。感謝MDPI, Basel以 open access 形式提供圖片分享及複製）

圖6  原子力顯微鏡的微懸臂梁自然振動頻率會隨著探針和試體間距不同而改變。圖中範例為使用較軟的微懸臂梁，當探針和試體間距（Z-w）在4nm以內（c點），探針因為凡得瓦力大於微懸臂梁勁度所提供的回復力，而發生不平衡造成跳躍現象。圖中明顯看到第一模態的特徵值受到探針和試體間距而影響，在2到4nm間特徵值為零，代表不穩定現象的發生，一般成為跳躍。（附註：特徵值正比於自然振動頻率） （圖片引用自P.-J. Shih, Sensors, 12, 6666-6684, 2012。感謝MDPI, Basel以 open access 形式提供圖片分享及複製）

液體中的觀測技術（液體和結構互制）：

近年來原子力顯微鏡已成為微小生物結構不可缺乏的探測工具。主要原因是因為電子顯微鏡（SEM）必須在真空環境下操作，而生物體離不開液體也不能在真空中存活。所以，對於生物體的奈米級觀測，原子力顯微鏡成為唯一工具。

原子力顯微鏡不僅可針對生物樣品表面擷取影像，也可以探測生物體內之奈米級力學性質（例如實驗探測DNA的拉伸強度值）。微懸臂梁在水中操作，液體對於微懸臂梁結構是很大阻尼因素，須輸入更多力去維持應有的振動。另一方面，這些圍繞在微懸臂梁附近的液體，隨著微懸臂梁的振幅變化，也會影響微懸臂梁導致頻率漂移。

研究微懸臂梁在水中振動的專家是澳洲的Sader教授。Sader教授本身是流體力學背景，他改良旗幟在空氣中受到流體擾動的數學解法，並考慮試體所在的半平面效應，而推導出半解析的數學公式。Sader的研究指出，微懸臂梁在液體中振動有四個控制變因：微懸臂梁與平面距離，雷諾數，梁寬度，液體與梁的密度比。其中平面距離影響最大。綜合Sader和其他的研究成果，微懸臂梁總共會受到三種不同外影響而導致其頻率變化，(a) 微懸臂梁探針端的邊界條件（稱為擬靜態條件），(b) 探針和液體的互制（稱為液體動力條件），(c) 探針再近場時的振幅影響（因為探針在近場時，凡得瓦力變化急劇，所以探針振動的振幅大小，將導致頻率的不同，稱為Giessbl頻率變化）。一般探針而言，微懸臂梁的自然頻率將隨探針和試體間距變化的變小而變小，其關係圖詳圖7。
 

圖7  在液體中原子力顯微鏡的微懸臂梁其自然振動頻率會隨著探針和試體間距的不同而改變。圖中也顯示隨著探針的幾何高度不同，頻率變化的曲線也會不同。（圖片引用自P.-J. Shih, Sensors, 14, 9369-9379, 2014。感謝MDPI, Basel以 open access 形式提供圖片分享及複製）

目前世界先進的原子力顯微鏡發展

原子力顯微鏡發展至今已近三十年，先進研究均以提昇解析度和提高掃描速度為主要努力方向。筆者在此以解析度和速度二個觀點，和大家介紹目前先進的技術指標。在提高掃描的解析度上，德國的Gissebl教授團隊是非接觸式原子力顯微鏡的先驅。除探討精密的控制技術之外，該團隊已將探針最尖端的原子排列幾何納入考量，發現存在原子排列角度和解析度的相依問題（詳圖8）。

圖8  先進的原子力顯微鏡觀測已精密至必須考量探針最尖端原子的幾何排列。此圖為筆者重繪自Welker 和Giessible發表在Science的論文實驗成果。他們將不同幾何排列的探針，對於單一CO分子標註於Cu表面上，進行掃描成像討論不同高程下的CO分子觀測成果。標示為Current的圖是穿隧式顯微鏡觀測成果，而標示為Force是原子力顯微鏡的觀測成果。由圖中可知，原子力顯微鏡的不同探針尖（圖(a)和圖(b)的晶格結構不同）可獲得不同掃描結果。此觀點更說明了原子力顯微鏡比穿隧式顯微鏡具有更高的解析能力。詳細內容請參考原始論文，J. Welker and F. J. Giessibl, “Microscopy Revealing the Angular Symmetry of Chemical Bonds by Atomic Force,” Science vol. 336（27）, pp. 444-449 （2012）

新式觀測技術另一個重點即是快速成像，並拍攝奈米世界的動態影片。在不損失解析度和性能前提下，提高成像速度縮短獲得資料時間，即可知道生物體的微傳輸行為。近年來，快速掃描技術重新定義儀器的操作和功能，日本的Yamamoto教授以研發快速掃描的原子力顯微鏡著名，他們於2010年拍攝肌球蛋白絲V分子的動態行為，原子力顯微鏡以視覺化呈現肌球蛋白V分子沿著肌動蛋白的軌道行走。高解析度影片不僅提供確鑿的「視覺證據」，以前推測或證明分子的行為，如槓桿臂擺動（詳圖9）。

圖9  先進的原子力顯微鏡具備高速的掃描能力，如同拍攝影片般地呈現奈米世界的動態現象。此圖為筆者重繪原Kodera等人發表在Nature的論文，圖中描繪肌動蛋白絲V（寬度約36奈米）的運動行為，肌動蛋白絲沿著基質搖擺前進。原論文中有提供顯微鏡掃描的影片，它的拍攝速度為每分鐘400張照片，即為每分鐘執行400次的AFM掃描。此技術不只需要有很快的掃描速度，也需要有很高的解析度。但速度快必然造成穩定性差，因此解析度也會降低。目前日本的Yamamoto教授團隊技術堪稱獨步全球。詳細內容請參考原始論文，該論文並提供影片記錄檔，可清楚看到激動蛋白絲Ｖ的運動現象。 N. Kodera, D. Yamamoto, R. Ishikawa, and T. Ando, “Video imaging of walking myosin V by high-speed atomic force microscopy,” Nature, 468（4）, pp. 72-76 （2010）.

結語：

原子力顯微鏡的發明，迄今已接近三十年，透過非接觸式的原子力顯微鏡，人類可以看到最小的尺寸已達到數十個皮米（pm，1pm = 10 - 12m）。在此極微小的世界中，化學鍵的接合和斷裂已可以透過非接觸式的原子力顯微鏡看到。這些化學鍵結現象，儼然已變成物理議題。未來，化學和物理將有機會成為同一門學問。無疑地，力學是最根本的物理議題。土木工程發展十分成熟的結構力學理論和分析技術，筆者認為仍有很大的空間發揮應用於奈米尺度的問題。

延伸思考：

TRIZ（萃智）的發明人Altshuller將專利知識分成五個知識等級，筆者最後想引用這五個知識等級提供年輕學子反思。五個知識等級分別為：

(1) 表面等級：利用已知的專業知識反覆的設計。

(2) 改善等級：針對存在的系統加以改善，如雙焦距眼鏡鏡片，休旅車，好神拖拖把，平板電腦等。

(3) 基本改良等級：利用系統產業以外的知識和技術，改善原有系統，如無線電話機，智慧型手機。

(4) 發展新世代系統等級：利用新的原理因而提升系統的基本功能，新原理多來自科學面而非來自技術面，如噴射飛機，積體電路。

(5) 新科學發現等級：如雷射，無線電，飛機。

請讀者試著想想，原子力顯微鏡的發明是什麼知識等級？其中有哪些原理或技術是既有的，又那些是新的知識。再請讀者想想，日常生活中接觸的新事物，或新聞中所謂的創新創意，又是什麼知識等級呢？

圖10  根據統計以五種知識等級去分析世界上現有的專利發明，各個等級佔全部專利的百分比。